Na matemática, especialmente na teoria das categorias, a categoria de homotopia de uma ∞-categoria C é a categoria na qual os objetos são aqueles em C, mas o conjunto hom de x para y é o quociente do conjunto de morfismos de x para y em C por uma relação de equivalência apropriada. Se uma ∞-categoria é definida como um complexo de Kan fraco (definição usual), então a construção é devida a Boardman e Vogt, que também deram a definição de uma ∞-categoria como um complexo de Kan fraco. Neste caso, a categoria de homotopia de uma ∞-categoria C é equivalente a
τ ( C )
{\displaystyle \tau (C)}
, onde
τ
{\displaystyle \tau }
é um adjunto à esquerda do functor nervo. Por exemplo, o complexo singular de um espaço topológico (razoável) X é um complexo de Kan e a categoria de homotopia do mesmo é o grupoide fundamental de X.
Construção de Boardman–Vogt Seja C uma ∞-categoria. Se
f , g : x → y
{\displaystyle f,g:x\to y}
são morfismos (1-simplexos) em C, então escrevemos
f ∼ g
{\displaystyle f\sim g}
se existir um 2-simplexo
σ :
Δ
2
→ C
{\displaystyle \sigma :\Delta ^{2}\to C}
tal que
σ ( 0 → 1 ) = f ,
σ ( 0 → 2 ) = g ,
σ ( 1 → 2 ) =
id
y
.
{\displaystyle \sigma (0\to 1)=f,\,\sigma (0\to 2)=g,\,\sigma (1\to 2)=\operatorname {id} _{y}.}
Então, pelo trabalho de Joyal, a relação
∼
{\displaystyle \sim }
revela-se ser uma relação de equivalência. Portanto, podemos tomar o quociente:
[ x , y ] =
Hom
C
( x , y )
/
∼ .
{\displaystyle [x,y]=\operatorname {Hom} _{C}(x,y)/\sim .}
A categoria de homotopia
τ ( C )
{\displaystyle \tau (C)}
no sentido de Boardman–Vogt é, assim, a categoria onde
obj ( τ ( C ) ) = obj ( C )
{\displaystyle \operatorname {obj} (\tau (C))=\operatorname {obj} (C)}
,
Hom
τ ( C )
( x , y ) = [ x , y ]
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\tau (C)}(x,y)=[x,y]}
e a composição é dada por
[ f ] ∘ [ g ] = [ h ]
{\displaystyle [f]\circ [g]=[h]}
quando
h
{\displaystyle h}
exibe alguma composição de
f , g
{\displaystyle f,g}
. Seja
π
0
{\displaystyle \pi _{0}}
um adjunto à esquerda para a inclusão da categoria dos conjuntos na categoria dos conjuntos simpliciais. Se
K
{\displaystyle K}
é um complexo de Kan, então
π
0
K
{\displaystyle \pi _{0}K}
coincide com o conjunto de classes de homotopia simpliciais de aplicações
Δ
0
→ K
{\displaystyle \Delta ^{0}\to K}
. Nesse caso,
Hom
τ ( C )
( x , y ) ≃
π
0
Map ( x , y )
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\tau (C)}(x,y)\simeq \pi _{0}\operatorname {Map} (x,y)}
para cada objeto
x , y
{\displaystyle x,y}
em
C
{\displaystyle C}
.
Ver também Equivalência fraca entre conjuntos simpliciais
Referências
Bibliografia Cisinski, Denis-Charles (2023). Higher Categories and Homotopical Algebra (PDF) (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-1108473200
Leitura adicional «homotopy category of an (infinity,1)-category in nLab». ncatlab.org
